高中數學競賽(00-06年)試題分類匯總——排列組合

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專題七 排列、組合、二項式定理和概率

一、

選擇題(每小題6分)

21000

2

2000

1.(01全國)若(1+x+x)的展開式為a0+a1x+a2x+ +a2000x,則a0+a3+a6+

a9+ +a1998的值為 ( ) A.3 B3 C.3 D.3

333

666

999

2001

解:由于要求的是展開式中每間降兩項系數的和,所以聯想到1的單位根,用特殊值法.

取ω=-(1/2)+( 令x=1,得 3

1000

/2)i,則ω=1,ω+ω+1=0. =a0+a1+a2+a3+ +a2000; ①

2000

32

令x=ω,得 0=a0+a1ω+a2ω+ +a2000ω

; ②

4000

令x=ω,得 0=a0+a1ω+a2ω+a3ω+ +a2000ω ①+②+③得 3

1000

. ③

=3(a0+a3+a6+ +a1998).

999

∴a0+a3+a6+ +a1998=3,選C.

2.(02全國)已知兩個實數集合A={a1,a2, ,a100}與B={b1,b2, ,b50},若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤ ≤f(a100)則這樣的映射共有( )

50100

4899

49

49

(A)C (B)C (C)C

100

(D)C

99

解:不妨設b1<b2< <b50,將A中元素a1,a2, ,a100按順序分為非空的50組。

定義映射f:A→B,使第i組的元素在f之下的象都是bi(i=1,2, ,50).易知這樣的f滿足題設要求,每個這樣的分組都一一對應滿足條件的映射,于是滿足題設要求的映射f的個數與A按足碼順序分為50組的分法數相等,而A的分法數為C故選D。

4999

,則這樣的映射共有C

4999

3.(04全國)設三位數n abc,若以a,b,c為三條邊的長可以構成一個等腰(含等邊)三角形,則這樣的三位數n有( ) A. 45個

B. 81個

C. 165個

D. 216個

解:a,b,c要能構成三角形的邊長,顯然均不為0。即a,b,c {1,2,...,9}。 (1)若構成等邊三角形,設這樣的三位數的個數為n1,由于三位數中三個數碼都相同,所

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